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Hyperkomplexe Zahlen sind Verallgemeinerungen der komplexen Zahlen. In diesem Artikel werden hyperkomplexe Zahlen als algebraische Struktur betrachtet. Manchmal werden auch die Quaternionen als die hyperkomplexen Zahlen bezeichnet.

• Definition

• Eigenschaften

• Konjugation

• Beispiele

• Komplexe Zahlen

• Anormal-komplexe Zahlen

• Duale Zahlen

• Quaternionen

• Biquaternionen

• Oktonionen

• Sedenionen

• Quadratische Matrizen

• Bemerkungen

• Literatur

Eine hyperkomplexe Zahl ist ein Element einer Algebra hyperkomplexer Zahlen. Eine Algebra A {\displaystyle A} über den reellen Zahlen heißt Algebra hyperkomplexer Zahlen oder hyperkomplexes System des Rangs n {\displaystyle n} , wenn

• sie als Vektorraum endliche Dimension n {\displaystyle n} hat und wenn

• sie ein Einselement besitzt, das heißt, falls ein e ∈ ∈ A {\displaystyle e\in A} existiert, so dass für alle a ∈ ∈ A {\displaystyle a\in A} die Gleichung e ⋅ ⋅ a = a ⋅ ⋅ e = a {\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a} gilt.

Manche Autoren fordern zusätzlich, dass die Algebra A {\displaystyle A} bezüglich der Multiplikation assoziativ ist. Insbesondere sind die reellen Zahlen selbst eine Algebra hyperkomplexer Zahlen.

• Für die Addition gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.

• Die Addition ist invertierbar.

• Das linksseitige und das rechtsseitige Distributivgesetz gilt.

• Die Multiplikation in einer hyperkomplexen Algebra A {\displaystyle A} ist bilinear über den reellen Zahlen, d. h., es gilt ( α α x ) ( β β y ) = α α β β ( x y ) ∀ ∀ α α , β β ∈ ∈ R ; x , y ∈ ∈ A {\displaystyle (\alpha x)(\beta y)=\alpha \beta (xy)~~\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ;~x,y\in A}

Folgende Eigenschaften werden nicht gefordert:

• Für die Multiplikation von hyperkomplexen Zahlen muss das Kommutativgesetz nicht gelten.

• Elemente müssen bezüglich der Multiplikation nicht notwendig invertierbar sein.

• Die Multiplikation braucht nicht nullteilerfrei zu sein.

Hyperkomplexe Zahlen lassen sich wie folgt als Summe darstellen:

a = a 0 1 + a 1 i 1 + ⋯ ⋯ + a n i n {\displaystyle a=a_{0}1+a_{1}\mathrm {i} _{1}+\dotsb +a_{n}\mathrm {i} _{n}} .

Die Größen i k {\displaystyle \mathrm {i} _{k}} für k > 0 {\displaystyle k>0} heißen imaginäre Einheiten. Die zu a {\displaystyle a} konjugierte Zahl entsteht, indem alle imaginären Einheiten durch ihr Negatives ersetzt werden ( i k ↦ ↦ − − i k {\displaystyle \mathrm {i} _{k}\mapsto -\mathrm {i} _{k}} ). Die zu a {\displaystyle a} konjugiert komplexe Zahl wird durch a ¯ ¯ {\displaystyle {\bar {a}}} oder a ∗ ∗ {\displaystyle a^{*}} dargestellt. Ihre Summendarstellung ist

a ¯ ¯ = a 0 1 − − a 1 i 1 − − ⋯ ⋯ − − a n i n {\displaystyle {\bar {a}}=a_{0}1-a_{1}\mathrm {i} _{1}-\dotsb -a_{n}\mathrm {i} _{n}} .

Die Konjugation ist eine Involution auf den hyperkomplexen Zahlen, das heißt, dass

a ¯ ¯ ¯ ¯ = a {\displaystyle {\bar {\bar {a}}}=a} .

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Komplexe Zahl

Die komplexen Zahlen C {\displaystyle \mathbb {C} } sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, definiert durch

z = a + b i {\displaystyle z=a+b\mathrm {i} } mit i 2 = − − 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1} .

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Anormal-komplexe Zahl

Die anormal-komplexen Zahlen sind definiert durch

z = a + b j {\displaystyle z=a+bj} mit j 2 = 1 {\displaystyle j^{2}=1} .

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Duale Zahl

Die dualen Zahlen sind definiert durch

z = a + b ε ε {\displaystyle z=a+b\varepsilon } mit ε ε 2 = 0 {\displaystyle \varepsilon ^{2}=0} .

Man beachte, dass sie nichts mit Dualzahlen (Darstellung von Zahlen im Zweiersystem) zu tun haben.

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Quaternion

Die Quaternionen sind definiert durch

x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k {\displaystyle x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} } mit i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − − 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=\mathrm {i} \mathrm {j} \mathrm {k} =-1} .

Die Quaternionen (Symbol oft H {\displaystyle \mathbb {H} } nach ihrem Entdecker W. R. Hamilton) bilden eine vierdimensionale R {\displaystyle \mathbb {R} } -Algebra mit Division und assoziativer (aber nicht kommutativer) Multiplikation. Es handelt sich bei den Quaternionen also um einen Schiefkörper.

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Biquaternion

Die Biquaternionen sind als Quaternionen mit komplexen Koeffizienten definiert, d. h., sie bilden einen vierdimensionalen Vektorraum über C {\displaystyle \mathbb {C} } ebenso, wie die Quaternionen einen vierdimensionalen Vektorraum über R {\displaystyle \mathbb {R} } bilden.

Es gibt zwei unterschiedliche Biquaternion: Hamilton-Biquaternion und Clifford-Biquaternion.

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Oktave (Mathematik)

Die Oktonionen (Symbol O {\displaystyle \mathbb {O} } , auch Oktaven genannt) sind achtdimensionale hyperkomplexe Zahlen mit Division und alternativer Multiplikation.

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Sedenion

Die Sedenionen (Symbol S {\displaystyle \mathbb {S} } ) sind sechzehndimensionale hyperkomplexe Zahlen. Ihre Multiplikation ist weder kommutativ, assoziativ noch alternativ. Auch besitzen sie keine Division; stattdessen haben sie Nullteiler.

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Matrix (Mathematik)

Sei n {\displaystyle n} eine natürliche Zahl. Der R n × × n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}} ist dann eine Algebra mit der n × × n {\displaystyle n\times n} -Einheitsmatrix als Einselement – also auch eine hyperkomplexe Algebra. Genauer ist sie eine assoziative hyperkomplexe Algebra und damit auch ein Ring und als solcher auch unitär. Die reellzahligen Vielfachen der Einheitsmatrix bilden eine zu R {\displaystyle \mathbb {R} } isomorphe Unteralgebra.

Im Fall n = 2 {\displaystyle n=2} gibt es Unteralgebren, die zu den oben genannten drei zweidimensionalen Algebren isomorph sind; sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Hauptdiagonalelemente stets übereinstimmen (was dem Realteil entspricht) und für die Elemente der Nebendiagonalen Regeln gelten, die die dargestellte Algebra festlegen:

• Ein Nebendiagonalelement ist 0. → Die Algebra ist isomorph zu den Dualen Zahlen.

• Beide Nebendiagonalelemente stimmen überein. → Die Algebra ist isomorph zu den Binären Zahlen.

• Jedes Nebendiagonalelement ist das Negative des anderen. → Die Algebra ist isomorph zu den komplexen Zahlen.

Bemerkung: Jede Matrix des dritten Typs, durch die Determinante dividiert, ist eine Drehmatrix des zweidimensionalen Raums; jede Matrix des zweiten Typs durch ihre Determinante (falls diese von 0 verschieden ist) entspricht einer Lorentz-Transformation in einem 1+1-dimensionalen Minkowski-Raum.

• Mit dem Verdopplungsverfahren (auch als Cayley-Dickson-Verfahren bekannt) lassen sich neue hyperkomplexe Zahlensysteme erzeugen, deren Dimension doppelt so groß ist wie die des Ausgangszahlensystems.

• Jede Clifford-Algebra ist ein assoziatives hyperkomplexes Zahlensystem.

• Ulf von Rauchhaupt: Von natürlich bis hyperkomplex Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung, 11. Juni 2017

• Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen (Grundwissen Mathematik). 3. Aufl. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-54055-654-0.

• Isaj L. Kantor, Alexander S. Solodownikow: Hyperkomplexe Zahlen (Mathematische Schülerbücherei; Bd. 95). B.G. Teubner, Leipzig 1978.

• N.N. Vil'yams: Hypercomplex number. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).